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2016年高考数学极限题型怎么复习

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极限

考试内容:

教学归纳法.数学归纳法应用.

数列的极限.

函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.

考试要求:

(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

(2)了解数列极限和函数极限的概念.

(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.

(4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

一、极限知识要点

1.⑴第一数学归纳法:①证明当 2016年高考数学极限题型怎么复习 取第一个 2016年高考数学极限题型怎么复习 时结论正确;②假设当 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 )时,结论正确,证明当 2016年高考数学极限题型怎么复习 时,结论成立.

⑵第二数学归纳法:设 2016年高考数学极限题型怎么复习 是一个与正整数 2016年高考数学极限题型怎么复习 有关的命题,如果

①当 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 )时, 2016年高考数学极限题型怎么复习 成立;

②假设当 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 )时, 2016年高考数学极限题型怎么复习 成立,推得 2016年高考数学极限题型怎么复习 时, 2016年高考数学极限题型怎么复习 也成立.

那么,根据①②对一切自然数 2016年高考数学极限题型怎么复习 时, 2016年高考数学极限题型怎么复习 都成立.

2.⑴数列极限的表示方法:

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②当 2016年高考数学极限题型怎么复习 时, 2016年高考数学极限题型怎么复习 .

⑵几个常用极限:

2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 为常数)

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③对于任意实常数,

2016年高考数学极限题型怎么复习 时, 2016年高考数学极限题型怎么复习

2016年高考数学极限题型怎么复习 时,若a=1,则 2016年高考数学极限题型怎么复习 ;若 2016年高考数学极限题型怎么复习 ,则 2016年高考数学极限题型怎么复习 不存在

2016年高考数学极限题型怎么复习 时, 2016年高考数学极限题型怎么复习 不存在

⑶数列极限的四则运算法则:

如果 2016年高考数学极限题型怎么复习 ,那么

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特别地,如果C是常数,那么

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⑷数列极限的应用:

求无穷数列的各项和,特别地,当 2016年高考数学极限题型怎么复习 时,无穷等比数列的各项和为 2016年高考数学极限题型怎么复习 .

(化循环小数为分数方法同上式)

注:并不是每一个无穷数列都有极限.

3.函数极限;

⑴当自变量 2016年高考数学极限题型怎么复习 无限趋近于常数 2016年高考数学极限题型怎么复习 (但不等于 2016年高考数学极限题型怎么复习 )时,如果函数 2016年高考数学极限题型怎么复习 无限趋进于一个常数 2016年高考数学极限题型怎么复习 ,就是说当 2016年高考数学极限题型怎么复习 趋近于 2016年高考数学极限题型怎么复习 时,函数 2016年高考数学极限题型怎么复习 的极限为 2016年高考数学极限题型怎么复习 .记作 2016年高考数学极限题型怎么复习 或当 2016年高考数学极限题型怎么复习 时, 2016年高考数学极限题型怎么复习 .

注:当 2016年高考数学极限题型怎么复习 时, 2016年高考数学极限题型怎么复习 是否存在极限与 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 处是否定义无关,因为 2016年高考数学极限题型怎么复习 并不要求 2016年高考数学极限题型怎么复习 .(当然, 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 是否有定义也与 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 处是否存在极限无关. 2016年高考数学极限题型怎么复习 函数 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 有定义是 2016年高考数学极限题型怎么复习 存在的既不充分又不必要条件.)

2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 处无定义,但 2016年高考数学极限题型怎么复习 存在,因为在 2016年高考数学极限题型怎么复习 处左右极限均等于零.

⑵函数极限的四则运算法则:

如果 2016年高考数学极限题型怎么复习 ,那么

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特别地,如果C是常数,那么

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注:①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况.

⑶几个常用极限:

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2016年高考数学极限题型怎么复习 (0< 2016年高考数学极限题型怎么复习 <1); 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 >1)

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4.函数的连续性:

⑴如果函数f(x),g(x)在某一点 2016年高考数学极限题型怎么复习 连续,那么函数 2016年高考数学极限题型怎么复习 在点 2016年高考数学极限题型怎么复习 处都连续.

⑵函数f(x)在点 2016年高考数学极限题型怎么复习 处连续必须满足三个条件:

①函数f(x)在点 2016年高考数学极限题型怎么复习 处有定义;② 2016年高考数学极限题型怎么复习 存在;③函数f(x)在点 2016年高考数学极限题型怎么复习 处的极限值等于该点的函数值,即 2016年高考数学极限题型怎么复习 .

⑶函数f(x)在点 2016年高考数学极限题型怎么复习 处不连续(间断)的判定:

如果函数f(x)在点 2016年高考数学极限题型怎么复习 处有下列三种情况之一时,则称 2016年高考数学极限题型怎么复习 为函数f(x)的不连续点.

①f(x)在点 2016年高考数学极限题型怎么复习 处没有定义,即 2016年高考数学极限题型怎么复习 不存在;② 2016年高考数学极限题型怎么复习 不存在;③ 2016年高考数学极限题型怎么复习 存在,但 2016年高考数学极限题型怎么复习 .

5.零点定理,介值定理,夹逼定理:

⑴零点定理:设函数 2016年高考数学极限题型怎么复习 在闭区间 2016年高考数学极限题型怎么复习 上连续,且 2016年高考数学极限题型怎么复习 .那么在开区间 2016年高考数学极限题型怎么复习 内至少有函数 2016年高考数学极限题型怎么复习 的一个零点,即至少有一点 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 )使 2016年高考数学极限题型怎么复习 .

⑵介值定理:设函数 2016年高考数学极限题型怎么复习 在闭区间 2016年高考数学极限题型怎么复习 上连续,且在这区间的端点取不同函数值, 2016年高考数学极限题型怎么复习 ,那么对于 2016年高考数学极限题型怎么复习 之间任意的一个数 2016年高考数学极限题型怎么复习 ,在开区间 2016年高考数学极限题型怎么复习 内至少有一点 2016年高考数学极限题型怎么复习 ,使得 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 ).

⑶夹逼定理:设当 2016年高考数学极限题型怎么复习 时,有 2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习2016年高考数学极限题型怎么复习 ,且 2016年高考数学极限题型怎么复习 ,则必有 2016年高考数学极限题型怎么复习

注: 2016年高考数学极限题型怎么复习 :表示以 2016年高考数学极限题型怎么复习 为的极限,则 2016年高考数学极限题型怎么复习 就无限趋近于零.( 2016年高考数学极限题型怎么复习 为最小整数)

6.几个常用极限:

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2016年高考数学极限题型怎么复习 为常数)

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2016年高考数学极限题型怎么复习 为常数)

二、极限与探索性问题

【命题趋向】

综观历届全国各套高考数学试题,我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点:

1.数学归纳法

①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解,掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用).

②解答题大多以考查数学归纳法内容为主,并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目

③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法.在由n=k时命题成立,证明n=k1命题也成立时,要注意设法化去增加的项,通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧,这一点要高度注意.

2.数列的极限

①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容,对基本的计算技能要求比较高,直接运用四则运算法则求极限.

②解答题大多结合数列的计算求极限等,涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目.

③数列与几何:由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形,通常相关几何量构成等比数列,这是一类新题型.

3.函数的极限

①此部分为新增内容,本章内容在高考中以填空题和解答题为主.应着重在概念的理解,通过考查函数在自变量的某一变化过程中,函数值的变化趋势,说出函数的极限.

②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算.

③利用两个重要极限求函数的极限.

④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中,必将这一块内容溶入到函数内容中去,因而一定成为高考的又一个热点.

4.在一套 高考试题 中,极限一般分别有1个客观题或1个解答题,分值在5分-12分之间.

5.在 高考试题 中,极限题多以低档或中档题目为主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而极限题是高考中的得分点.

6.注意掌握以下思想方法

①极限思想:在变化中求不变,在运动中求静止的思想;

②数形结合思想,如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.

此类题大多以解答题的形式出现,这类题主要考查学生的综合应用能力,分析问题和学生解决问题的能力,对运算能力要求较高.

【考点透视】

1.理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

2.了解数列极限和函数极限的概念.

3.掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.

4.了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

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