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2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

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概率与统计

考试内容:抽样方法.总体分布的估计.总体期望值和方差的估计.

考试要求:(1)了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单实际问题进行抽样.(2)会用样本频率分布估计总体分布.(3)会用样本估计总体期望值和方差.

概率与统计知识要点

一、随机变量.

1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:

①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2.离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a,b是常数.则 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量, 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 是连续函数或单调函数,则 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

ξ取每一个值 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的概率 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.

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有性质① 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ; ② 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .

注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 [其中 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下:我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ~B(n·p),其中n,p为参数,并记 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.

4.几何分布:“ 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ”表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,事A不发生记为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,那么 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .根据相互独立事件的概率乘法分式: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 于是得到随机变量ξ的概率分布列.

2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 1 2 3 k
p q qp 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

我们称ξ服从几何分布,并记 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,其中 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

5.⑴超几何分布:一批产品共有N件,其中有M(M<N)件次品,今抽取 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 件,则其中的次品数ξ是一离散型随机变量,分布列为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .〔分子是从M件次品中取k件,从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规定 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,则k的范围可以写为k=0,1,…,n.〕

⑵超几何分布的另一种形式:一批产品由a件次品、b件正品组成,今抽取n件(1≤n≤a+b),则次品数ξ的分布列为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成,不放回抽取n件时,其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取,则其中次品数 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的分布列可如下求得:把 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 个产品编号,则抽取n次共有 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 个可能结果,等可能: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 个结果,故 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,即 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .[我们先为k个次品选定位置,共 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 种选法;然后每个次品位置有a种选法,每个正品位置有b种选法]可以证明:当产品总数很大而抽取个数不多时, 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1.期望的含义:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为

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则称 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的数学期望: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

①当 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 时, 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 时, 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 时, 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

ξ 0 1
p q p

⑵单点分布: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 其分布列为: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .

⑶两点分布: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,其分布列为:(p+q=1)

⑷二项分布: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 其分布列为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .(p为发生 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的概率)

⑸几何分布: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 其分布列为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .(p为发生 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的概率)

3.方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ的分布列为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 时,则称 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 为ξ的方差.显然 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,故 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 越小,稳定性越高,波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的方差 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .(a、b均为常数)

ξ 0 1
p q p

⑵单点分布: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 其分布列为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

⑶两点分布: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 其分布列为:(p+q=1)

⑷二项分布: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

⑸几何分布: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

5.期望与方差的关系.

⑴如果 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 都存在,则 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

⑵设ξ和 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 是互相独立的两个随机变量,则 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

⑶期望与方差的转化: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 (因为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 为一常数) 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .

三、正态分布.(基本不列入考试范围)

1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量ξ,位于x轴上方,ξ落在任一区间 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 内的概率等于它与x轴.直线 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 与直线 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 所围成的曲边梯形的面积

2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 (如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线,以其作为

图像的函数 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 叫做ξ的密度函数,由于“ 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习

是必然事件,故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线:如果随机变量ξ的概率密度为: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .( 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 为常数,且 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ),称ξ服从参数为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的正态分布,用 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 表示. 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的表达式可简记为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差:若 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,则ξ的期望与方差分别为: 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方,与x轴不相交.

②曲线关于直线 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 对称.

③当 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 时,曲线上升;当 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.

⑤当 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 一定时,曲线的形状由 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 确定, 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散; 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

3.⑴标准正态分布:如果随机变量ξ的概率函数为 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,则称ξ服从标准正态分布.即 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 求出,而p(a< 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ≤b)的计算则是 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .

2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 注意:当标准正态分布的 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的X取0时,有 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 的X取大于0的数时,有 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .比如 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 必然小于0,如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系:若 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 则ξ的分布函数通

常用 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 表示,且有 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .

4.⑴“3 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ”原则.

假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .②确定一次试验中的取值 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 是否落入范围 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 .③做出判断:如果 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,接受统计假设.如果 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.

⑵“3 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 ”原则的应用:若随机变量ξ服从正态分布 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 则ξ落在 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 内的概率为99.7%亦即落在 2016年高考数学概率与统计题型怎么复习 之外的概率为0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即ξ不服从正态分布).

四、统计与统计案例

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